【Pythonで学ぶ】インプライド・ボラティリティ（IV）の計算方法と、ブラック・ショールズ・モデルの基礎

2024年7月28日2025年7月8日

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「インプライド・ボラティリティ（IV）ってよく聞くけど、一体何？」「計算が難しいって本当？」

オプション取引の価格に織り込まれた、市場の「期待」と「不安」を数値化する、インプライド・ボラティリティ（IV）。

この記事では、そのIVが、どのような数理モデル（ブラック・ショールズ・モデル）に基づいており、そして、Pythonを用いて、具体的に、どのように計算できるのか、その技術的な実装に、焦点を当てて解説します。

※この記事は、オプション取引の、より技術的な側面に焦点を当てています。もし、「インプライド・ボラティリティとは、そもそも何か？」という、概念的な理解から始めたい方は、まず、メインブログの、こちらの入門ガイドをお読みください。

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【理論】IV算出の基礎：ブラック・ショールズ・モデル

インプライド・ボラティリティは、オプションの市場価格から、逆算して求められます。その逆算の際に、基準となるのが、オプションの理論価格を算出するための、最も有名な数理モデル「ブラック・ショールズ・モデル（BSモデル）」です。

ブラック・ショールズ式の概要（Call option）

この式の中のσ（シグマ）がボラティリティです。インプライド・ボラティリティの計算では、このσ以外のすべての変数と、市場で決まったオプション価格Cを使って、方程式を満たすσを数値解析的に見つけ出すのです

【実践】Pythonでインプライド・ボラティリティを計算してみよう

この複雑な逆算も、Pythonを使えば比較的簡単に行うことができます。ここでは、数値計算ライブラリSciPyを使った方法を紹介します。

Step 1: 必要なライブラリの準備

まず、計算に必要なライブラリをインポートします。scipyは最適化計算（今回はIVの探索）に、numpyは数学的な計算に、scipy.statsは正規分布の計算に使います。

# pip install scipy numpy
from scipy.optimize import brentq
import numpy as np
from scipy.stats import norm

Step 2: ブラック・ショールズの計算式をコードにする

次に、先ほどのブラック・ショールズの計算式をPythonの関数として定義します。この関数は、ボラティリティ(σ)を入力すると、オプションの理論価格を返すものです。

Step 3: 市場価格との差からIVを逆算する

いよいよIVを計算します。 brentqという関数は、「ある関数（ここではbs_price_callで計算した理論価格と市場価格の差）の結果が0になるような入力値」を見つけてくれます。

つまり、**「理論価格 – 市場価格 = 0」となるようなsigma（ボラティリティ）**を探し出すのです。

def bs_price_call(S, K, T, r, sigma):
    d1 = (log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*sqrt(T)
    return S*norm.cdf(d1) - K*exp(-r*T)*norm.cdf(d2)

def implied_volatility_call(C_market, S, K, T, r):
    return brentq(lambda sigma: bs_price_call(S, K, T, r, sigma) - C_market, 0.0001, 5.0)